Az inverz Laplace transzformáció

Az inverz Laplace transzformációt az alábbi képlet szerint definiáljuk:

,                                                     (2.2.17)

ahol -1 az inverz Laplace transzformáció szimbóluma, c pedig az  legnagyobb szinguláris pontját meghatározó komplex érték valós részénél egy nagyobb valós érték. Szinguláris pont az, amelyre egy komplex függvény nem definiálható.

A legtöbb mérnöki alkalmazás esetében ritkán használjuk ezeket a képleteket. Annál inkább a transzformációs táblázatokat illetve a transzformáció tulajdonságait.

A Laplace transzformáció fő tulajdonságai

1. Linearitás

.        (2.2.18)

2. Valós transzláció

                                                                           (2.2.19)

3. Komplex transzláció

.                                                                              (2.2.20)

4. A derivált Laplace transzformáltja

.                                                                      (2.2.21)

Általában

        (2.2.22)

5. Az integrál Laplace transzformáltja

 .                                                                              (2.2.23)

Általában

 .                                                                 (2.2.24)

6. Skálázás

                                                                                  (2.2.25)

7. t-vel való szorzás

 .                                                                               (2.2.26)

Általában

 .                                                                    (2.2.27)

8. t-vel való osztás

 .                                                                             (2.2.28)

A fenti képlet ugyanúgy általánosítható.

9. Konvoluciós integrál

.      (2.2.29)

10. Kezdeti érték tétel

.                                                                                  (2.2.30)

11. Végérték tétel

.                                                                                 (2.2.31)

A Laplace transzformáció alkalmazása lineáris differenciál egyenletek megoldására

A Laplace transzformáció, annak tulajdonságai valamint a transzformációs táblázat segítségével a lineáris differenciál egyenletek megoldása viszonylag könnyű feladat.

Alkalmazva a Laplace transzformációt és a deriválás tételét a (2.2.1) differenciál egyenlet minden egyes tagjára az egyenlet bal oldali tagjainak transzformáltjai:

,                                              (2.2.31)

az egyenlet jobb oldali tagjainak transzformáltjai pedig rendre:

,                                          (2.2.32)

ahol az  () és  () polinomok az adott kimenő illetve a bemenő jelek kezdeti feltételeihez kapcsolódnak.

Összegezve mindent és a kezdeti feltételeket tartalmazó tagokat leválasztva kapjuk:

                                     (2.2.33)

A fenti egyenletből kifejezzük az -t, azaz:

,           (2.2.34)

Ahol  a kezdeti feltételeket összesítő polinom, azaz:

.                                         (2.2.35)

Ha elemezzük a kapott képleteket, akkor könnyen rájövünk, hogy az  a karakterisztikus polinom kifejezésével megegyezik, tehát ugyanúgy a differenciál egyenlet homogén részéhez kapcsolható.

Nagyon gyakran a mérnöki elemzéseknél a kezdeti feltételeket meghatározó állapotot referencia állapotnak tekintjük, vagyis a kezdeti feltételek zérusok, azaz . Ebben az esetben felírhatjuk:

,                                                              (2.2.36)

ahol  az átviteli függvény. Könnyen bizonyítható, hogy az átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace transzformáltja. A súlyfüggvény a lineáris, idő-invariáns rendszernek (modellnek) az egységimpulzus bemenő jelre adott válaszfüggvénye.

Nyomban észrevehető, hogy az  és az polinomokat közvetlenül az eredeti differenciál egyenletből felírhatjuk. Tehát, az átviteli függvény minden alapvető információt tartalmaz az adott rendszerről, tehát alapvető fogalom számunkra is.